Mast in der 1. Eigenform schwingend

Das dynamische Verhalten von Bauwerken, Maschinen o.ä. wird in der Regel experimentell-theoretisch durchgeführt. Unbekannte Eingangswerte, wie z.B. die Dämpfung, Randeinspannungen o.ä. lassen sich mit Hilfe von Messungen einfach bestimmen, so dass die darauf aufbauende theoretische Untersuchung von gesicherten Startwerten ausgehen kann. Daneben dient die Messung der Überprüfung bzw. Validierung der zugrundegelegten Modelle.

 Untersuchte Bauwerkstypen:

Brücken

Maste, Türme und Kamine

Deckensysteme

Maschinen

 

Untersuchung unterschiedlichster Anregungen:

Fußgänger und Verkehr

Maschinenanregung

Wind

Erdbeben

 

Enzsteg Pforzheim mit Messanlage

Vorhandene Meßausrüstung:

Meßanlage zur Dauermessung an Bauwerken auch bei größeren Abständen der Sensoren vom Meßrechner (bis 500m), da die Signale der Sensoren örtlich verstärkt werden.

Anti-Aliasing Filterung und Data-Sampling in Meßrechner.

Beispiele:

Zur Messung des dynamischen Verhaltens müssen geeignete dynamische Anregungen aufgebracht werden. Künstliche Anregungen können z.B. durch "Anzupfen" der Struktur erzeugt werden, das Antwortverhalten wird gemessen.
Dies wurde z.B. durchgeführt bei Messungen am Mast Heidelstein/Rhön. Das folgende Diagramm zeigt einen Vergleich zwischen gemessenen und gerechneten Amplitudenspektren.

 

Dies wurde z.B. durchgeführt bei Messungen am Mast Gartow/Wendland. Das folgende Diagramm zeigt einen Vergleich zwischen gemessenen und gerechneten Amplitudenspektren.

 

Theoretische Untersuchungen

Bei den theoretischen Untersuchungen muss die Struktur geeignet modelliert werden. Die Modellwahl und die Wahl des Rechenverfahrens hängt stark von den Eigenschaften der Struktur ab. Für die dynamische Berechnung stehen eine Reihe von Rechenprogrammen zur Verfügung. Diese sind selbst entwickelt (und deshalb an nahezu beliebige Problemstellungen anpassbar) sowie äußerst leistungsfähig.

Bei linearen Problemstellungen stehen eine ganze Reihe von Methoden zur Verfügung:

 

A) Modale Analyse

Das Verfahren der modalen Analyse beruht auf einer Beschreibung der Schwingungsbiegelinie durch eine gewichtete Superposition von Eigenformen. Zur Bestimmung der Eigenfrequenzen und der Eigenformen geht man i.A. von der Differentialgleichung der ungedämpften freien Schwingung aus. Diese Annahme ist bei gering gedämpften Systemen zulässig, die Eigenfrequenzen des gedämpften Systems sind nur geringfügig gegenüber dem ungedämpften verschoben. Für die Eigenfrequenzen und Eigenformen werden hierbei die des ungedämpften Schwingers genommen. Dies ist bei den üblichen geringen Dämpfungen möglich, da die Abweichung der gedämpften Eigenfrequenzen von den ungedämpften sehr gering sind. Die Dämpfung wird praktisch jedoch erst später - auf der Ebene der entkoppelten Einmassenschwinger - eingeführt (siehe unten). Die Berücksichtigung von Dämpfungsmatrizen, die nicht bestimmten Bedingungen genügen, führt auf komplexe Eigenvektoren und ist bei der modalen Analyse sehr viel aufwendiger. Hier ist dann die Berechnung im Frequenzbereich vorzuziehen.

Die Berechnung des Schwingers mit n Freiheitsgraden wird also durch die Berechnung von n Einmassenschwingern ersetzt. Die inhomogene Differentialgleichung kann mit Hilfe der für den Einmassenschwinger üblichen Verfahren gelöst werden. Wenn die Verteilung der Belastung über dem Tragwerk affin zu einer Eigenform vorliegt, verbleibt lediglich die modale Last, die zur gleichen Eigenform gehört. Man erkennt hieraus, daß ein Tragwerk, welches affin zu seiner Eigenform erregt wird, auch nur in dieser Eigenform schwingt. So wird ein freistehender Kamin, der am Kopf angezupft wird, nicht nur - wie oft angenommen - in seiner Grundeigenform schwingen, sondern gleichzeitig mit allen anderen Eigenformen, obwohl die Grundschwingung überwiegen wird.

Die modale Analyse ist ein wirkungsvolles Instrument zur Schwingungsberechnung, zumal sie wichtige physikalische Erklärungen für das Schwingungsverhalten liefert, wie gerade dargestellt. Da sie die analytische Lösung des linearen Mehrmassenschwingers darstellt, hat sie auch nicht den Nachteil, dass numerisch integriert werden muss, mit all den dabei auftretenden Problemen. Wegen der Überlagerung aus einzelnen Eigenschwingformen muss allerdings lineares Verhalten vorausgesetzt werden. Auf die Probleme bei stärkerer Dämpfung ist bereits hingewiesen worden.

Die Erfassung von unterschiedlichen Dämpfungen im System von diskreten Einzeldämpfern etc. ist nur global möglich, da letztlich die Berechnung am generalisierten Einmassenschwinger durchgeführt wird, der das Verhalten der gesamten Tragstruktur in der jeweiligen Eigenform abbildet.

 

B) Übertragungsverfahren

Ein einfach schematisierbares Verfahren zur Ermittlung des zeitlichen Lösungsverlaufs ist das Übertragungsverfahren im Zeitbereich. Es hat allerdings, wie auch andere numerische Integrationsverfahren, den Nachteil, dass es numerisch instabil werden kann. Mit Hilfe einer Matrizenmultiplikation wird jeweils die Lösung zum Zeitpunkt t=0 zum Zeitpunkt t übertragen.

Es wäre nun sehr aufwendig, den kontinuierlichen Lösungsverlauf zu bestimmen, da man die Matrix für jeden Zeitschritt neu zu berechnen hätte. Deshalb zerlegt man die Zeit in äquidistante Zeitschritte und bestimmt hierfür einmalig die Übertragungsmatrix. Die Übertragung wird dann durch fortgesetzte Matrizenmultiplikation vom Zeitpunkt i zum Zeitpunkt i+1 mit dem Abstand t vorgenommen.

Das Verfahren ist nur für lineares Systemverhalten einsetzbar.

 

C) Berechnung im Frequenzbereich

Zur Ermittlung der Übertragungsfunktion wird von der allgemeinen Schwingungsdifferentialgleichung

ausgegangen. Bei Ansatz einer stationären harmonischen Erregung

wird für die Verschiebungsfunktion ein ähnlicher Ansatz gemacht:

In diese Gleichung wird die Geschwindigkeit

eingesetzt, es ergibt sich

Mit

wird demnach eine komplexe Steifigkeit definiert.
Durch das Einsetzen der komplexen Erregung und der komplexen Antwort ergibt sich ein Gleichungssystem zur Bestimmung der unbekannten komplexen Verschiebungsamplituden:

Die komplexe Koeffizientenmatrix wird auch als dynamische Steifigkeitsmatrix oder als Impedanzmatrix bezeichnet. Die Gleichung gilt für stationäre harmonische Schwingungen. Beim Konzept der komplexen Steifigkeit ist es möglich, für alle zugrundeliegenden Elemente unterschiedliche Dämpfungswerte zu wählen und so die Auswirkung spezieller Dämpfungselemente, wie z.B. Einzeldämpfer, zu untersuchen.

Die Beschränkung auf harmonische Schwingungen stellt keine Einschränkung dar. Querschwingungen stellen ohnehin harmonische Anregungen der Struktur dar, sie werden also bereits richtig erfasst.

Nicht harmonische Anregungen können durch Transformation in den Frequenzraum und Multiplikation mit der komplexen Übertragungsmatrix behandelt werden.
Zum Vergleich dazu rechtes Bild für periodische Schwingungen:

Periodiche Erregung

 

Es muss eine Fourier-Reihenentwicklung der periodischen Belastung durchgeführt werden. Die einzelnen Fourierglieder werden mit den entsprechenden Spektrallinien der Systemübertragungsfunktion multipliziert, es ergeben sich die Antwortspektralgrößen, aus denen sich die Zeitantwort durch phasengerechtes Überlagern ermitteln lässt.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Bei nicht periodischen oder transienten Vorgängen wird die Fourier-Transformation (FFT) angewendet. Die Spektrallinien werden hierbei zu einer Spektralfunktion. Vergleiche dazu Bild unten:

 

 

Transiente Erregung

 

D) Berechnung im Zeitbereich

Bei Berechnungen im Zeitbereich wird die Schwingungsdiffentialgleichung schrittweise integriert. Da hierbei in jedem Zeitschritt die Massen-, Dämpfungs- und Steifigkeitseigenschaften angepasst werden können, eignet sich dieses Verfahren vor allem für nichtlineare Berechnungen (z.B. von Seilnetzen oder von Strukturen mit nichtlinearem Werkstoffverhalten). Bei den im Büro verwendeten Rechenprogrammen sind das implizite Newmark-Verfahren und das explizite Verfahren der zentralen Differenzen implementiert.

Während das Newmark-Verfahren bei geeigneter Wahl der Newmark-Parameter unbeschränkt stabil ist, verliert es diese günstige Eigenschaft bei nichtlinearen Systemen. Weiter hilft dann, die Verwendung eines verbesserten Verfahrens (Newmark-Bossak), bei dem die Massenmatrix im Zeitschritt geeignet gewichtet wird.

 

Es gilt:

 

Die Verschiebungen und Geschwindigkeiten ergeben sich aus:

 

Die Berechnungen sind stabil, wenn die Parameter wie folgt gewählt werden:

               a=-0.1              dB=0.6           aB = 0.3025.

Die Nachiteration innerhalb eines Zeitschrittes wird mit Hilfe des Newton-Raphson-Verfahrens durchgeführt.